Linear Algebra -18. Determinant

Determinant(행렬식)

행렬식(Determinant)는 $det A$ 혹은 $|A|$라고 표기된다. 이번 장에서는 행렬식의 성질에 대해서 배우도록 하겠다.

$det I = 1$

두개의 행이나 열을 서로 바꾸는 연산을 한 번 수행하면, 행렬식의 부호는 바뀐다. 즉, 행혹은 열끼리 바꾸는 연산을 홀수번 수행하면 부호는 원래 행렬식의 반대, 짝수번 수행하면 부호는 그대로이다.

랭크연산(다른 행이나 열끼리 빼고 더하는 연산)을 수행해도 행렬식은 변하지 않는다.

하나의 행이나 열에서 공통인수를 밖으로 끌어낼 수 있다.

nxn행렬 A에 대하여 Rank(A)<n 이면 det(A)=0 이다.

만약에 행렬A가, nxn 행렬이라면

$det(kA)=k^ndet(A)$

$det(A^k)={det(A)}^k$

$det(A)=det(A^T)$

의 세가지 성질을 만족한다.

$det(AB)=det(A)det(B)$이다.

상삼각행렬 혹은 하삼각행렬의 행렬식은 diagonal elements(대각원소)들의 곱과 같다. det(U)=det(L)=$(d_1)(d_2)(d_3)…(d_n) $ (nxn matrix)

$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$