Linear Algebra - 8. Complete Solution, Rank about solution types

목차

• Complete solution of Ax+b($x=x_p + x_n$)
  • Steps of finding complete solution to Ax=b
    • 1. $x_{particular}$ : 모든 free varaible=0로 두고, Ax=b를 푼다.
    • 2. $x_{nullspace}$
    • 3. Combine x_p with x_n
• Rank ‘r’ about solution
  • 1. r<n, r<m
  • 2. r=n (n<m) : no free varaibles
  • 3. r=m (n<m) : n-r(n-m) free varaibles($0<=num(free)<=n-r$)
  • 4. r=m=n (m=n)
  • abstraction

이번 강의에서는 다음에 관해서 배운다.

• Complete solution of Ax=b ($x=x_p + x_n$)
• Rank ‘r’ about solution

(r=m : Solution exsits, r=n Solution is unique)

Complete solution of Ax+b($x=x_p + x_n$)

Complete solution이란 무엇일까?

한 마디로 정리하면 Ax=b에 대한 일반해(general solution)이라 할 수 있다.

Linear algebra-Lecture 07에서 Ax=0에 대한 일반해를 구하는 법은 배웠지만, Linear algebra-Lecture 06에서 Ax=b에 대해서 배울 때에는, 일반해를 구해는 보았지만, 명확히 구하는 방법에 대해서는 배우지 않았다.

그러므로, 앞으로 이번 강의에서는 Ax=b에 대한 일반해를 구하는 방법을 배울 것이다.

ex)

위 식을 Augmented matrix의 형태로 표현하면 다음과 같다.

Linear algebra-Lecture 06 배웠던 내용을 생각해보자. Ax=b가 해를 갖기 위한 b의 조건은 무엇일까?

전에 배웠듯이, b가 A의 열공간(C(A))에 속해있으면 Ax=b는 해를 갖는다.

또는, A의 모든 행의 선형결합이 0이고, b를 A와 같은 계수로 선형결합을 시켰을 때 0이면 된다.

(두 말은 같은 말이다. 모르겠으면 식을 전개해보자.)

Steps of finding complete solution to Ax=b

원리는 간단하다.

이게 원리 전부이다.

1. $x_{particular}$ : 모든 free varaible=0로 두고, Ax=b를 푼다.

(Pivot varaible에 대해서만 방정식을 푼다고 생각해도 되겠다.)

ex)

2. $x_{nullspace}$

다시 한 번 Nullspace를 구하는 과정을 복습해보자.

3. Combine x_p with x_n

최종적인 일반해는 다음과 같다.

Rank ‘r’ about solution

m by n 형태를 가진 행렬A가 rank가 r이라고 하자.

1. r<n, r<m

우리가 여태까지 접했던 가장 일반적인 경우이다.

방정식에 비교해보면, 이런 맥락이다.

방정식이 5개, 미지수가 5개였는데, 다른 방정식을 가지고, 2개의 방정식을 만들 수가 있어서, 3개의 방정식과, 5개의 미지수만 남은 상황이다. 이때는 당연히 비 밖에 나오지 않으므로 무수히 많은 해를 지닐 수 밖에 없다. 아니면 완벽히, 미지수가 제거 되지 않아, 해가 없을 수도 있다.

2. r=n (n<m) : no free varaibles

잘 생각해보면 r=n일 때, rank가 full이라는 것을 알 수 있다.

앞에서 배운것 같이, Null space의 기저(biases)의 개수는 free varaibles의 개수와 같다. 그런데, free varaible이 존재하지 않으므로, $N(A)={zero vector}$이고, $X=x_p$라고 할 수 있다. 이 때, x는 unique solution을 갖는다.

unique solution은 해가 존재하지 않거나, 해가 1개만 존재하는 것을 의미한다.

모르겠으면 다음 중간까지 풀이 과정을 보고 생각해보자.

위 경우는, 중학교때 배운 방정식의 관점에서 생각해보면ㅡ 다음과 같은 경우이다.

방정식이 5개가 있고, 구하려는 미지수가 3개가 있다. 이 때, 2개의 방정식이 제거되고, 나머지 세 방정식은 서로에 대해서 모두 독립이다. 그럴 때에는, 해가 딱 1개만 있다. 하지만, 1번 경우와 같이, 방정식 제거 도중, 미지수가 완전히 제거되지 않을 때, 해가 아예 없다

3. r=m (n<m) : n-r(n-m) free varaibles($0<=num(free)<=n-r$)

우리가 중학교때 배웠던 방식대로 생각해보면 다음과 같다. 예를들어, 방정식은 2개인데, 미지수는 4개인 경우이다. 이 때, 미지수에 대한 비만 구할 수 있으므로, 해는 무수히 많다.

이것을 선형대수적으로 바라보면 어떻게 해야할까? 우리가 배웠던 Nullspace를 구하는 방법을 이용하면 된다.

예시를 하나 보자.

위와 같이 Nullspace의 기저가 존재하게 되면, complete solution은 선, 면과 같은 모양의 공간을 형성하게 되 므로, 무수히 많은 해를 지닌다고 볼 수 있다.

4. r=m=n (m=n)

r=m=n인 경우, 정방행렬에서, full rank를 가지는 조건이다.

예를 보자.

A=2x2의 행렬인 경우, R=rref(A)=I가 된다. 그러므로 단 1개의 해만 존재한다.

abstraction